Curvas de Bézier

As curvas de Bézier são curvas paramétricas definidas por um conjunto de pontos de controle. Foram popularizadas por Pierre Bézier nos anos 1960 para o desenho de carrocerias na Renault, e hoje aparecem em praticamente todo software de design vetorial, animação e fontes tipográficas.

Uma curva de Bézier de grau n é completamente determinada por n + 1 pontos de controle.

Forma paramétrica

Uma curva de Bézier cúbica (a mais comum) é definida por:

B(t) = (1 − t)³·P₀ + 3(1 − t)²·t·P₁ + 3(1 − t)·t²·P₂ + t³·P₃,   t ∈ [0, 1]

Os pontos P₀ e P₃ são as extremidades da curva. P₁ e P₂ são pontos de controle que determinam a tangência e a curvatura — eles atraem a curva sem pertencer a ela.

Propriedades importantes

• A curva sempre fica contida no casco convexo dos pontos de controle.
• A tangente em P₀ aponta para P₁; a tangente em P₃ aponta para P₂.
• Subdivisão recursiva (algoritmo de De Casteljau) permite avaliar a curva sem calcular polinômios diretamente.

Vídeo recomendado

O canal Freya Holmér tem uma das melhores explicações visuais disponíveis:

Onde aparecem na prática

1. Editores vetoriais (Illustrator, Figma, Inkscape)
2. Definição de glyphs em fontes TrueType e OpenType
3. Curvas de animação (easing functions no CSS)
4. Trajetórias suaves em jogos e robótica

Próximos passos

Confira também Animações — as funções de easing usadas em CSS e engines modernas são, em essência, curvas de Bézier. Ou volte ao índice de material teórico.